Matemáticas: de lo concreto a lo abstracto

Rufina Pearson, reconocida investigadora y capacitadora docente, brindó un webinar para la plataforma @Matific, representada por Vanina Mendiondo (Global B2B Sales Director) y Marcelo Rivera, Director de revistacolegio.com, quien fue invitado como moderador del encuentro virtual con profesionales de la educación de todo LATAM interesados en mejorar los procesos de aprendizaje. 

Las matemáticas, nos comentó Rufina, no se aprenden de modo abstracto sino partiendo de lo concreto. Calcular y resolver problemas depende fundamentalmente de la consolidación del sistema de numeración y de la capacidad de llevar lo concreto a lo abstracto. En esta ponencia se profundizó en este enfoque y cómo adaptarlo a alumnos con dificultades.

– ¿Cómo se aprende el número y qué relación tiene con el poder hacer matemáticas?

La literatura muestra que el número y la operatoria matemática se aprenden gradualmente y de modo acumulativo, o “bola de nieve” donde las bases bien afianzadas son claves para el desarrollo de los conceptos posteriores.

De hecho, en una investigación longitudinal que realizamos durante 8 años demostramos que las habilidades iniciales, medidas en preescolar, de identificación de números y conteo oral son predictoras del rendimiento matemático posterior no sólo de las operaciones sino de la resolución de problemas así como de la fluidez en el cálculo mental. Entonces, es importante afianzar las bases desde edad temprana así como tener en cuenta que quien tiene dificultad al inicio es una señal de riesgo para después. Entonces indicadores iniciales a la edad de 5 años:

–       Conservación del cardinal (el último número representa el total contado)

–       Conteo oral progresivo y regresivo (diferenciar lo esperado por edad)

–       Identificación de números.

Por otro lado sabemos que las matemáticas implican la comprensión de la cantidad, el poder reconocer los números escritos y de nombrarlos, así como de entender que estas abstracciones representan una determinada cantidad y que el sistema de numeración está marcado por “agrupaciones” inclusivas de la cantidad, donde el valor de la unidad según su posición es clave. Esta comprensión se logra con múltiples experiencias de conteo concreto y de asociación a los códigos visuales y verbales numéricos, que luego son la base de las operaciones numéricas básicas que sustentan la resolución de problemas y el cálculo fluido.

– Teoría del triple Código

Dehaene y Cohen desarrollaron la teoría del triple código (1995) donde muestran claramente cómo inicialmente los niños poseen una habilidad o noción de la magnitud que no está necesariamente conectada con el código verbal o arábigo/visual. Ellos hipotetizan que los que presentan dificultades específicas como Discalculia tienen un déficit en la conexión de los tres códigos, particularmente en la manipulación flexible del código de la magnitud con los otros dos y más tarde mostraron evidencias neurobiológicas de ello (2016).

Es a través de la enseñanza formal y de las interacciones entre estos tres códigos como se va desarrollando, integrando y afianzando la matemática. Las interacciones de estos tres códigos de magnitud, verbal y visual son importantes para comprender el sistema de numeración y para ganar fluidez matemática.

– ¿Cómo se enseña una comprensión del número eficaz?

Las matemáticas dijimos se aprenden de manera acumulativa pero dependen en gran medida de la enseñanza formal. Esto no significa empezar desde el nivel formal abstracto, sino todo lo contrario. Ya Bruner mostraba hace muchos años atrás que el cerebro humano aprende desde un plano concreto-motor/manipulativo, luego se forma la imagen mental y puede acceder a un plano perceptivo-visual y finalmente llega a una abstracción donde puede aplicar conceptos a un plano totalmente mental y abstracto, más verbal.

La literatura en matemática demostró esto, primero, que los niños vienen con conocimientos presimbólicos o informales de experiencias vividas anteriores a la escolaridad formal que se organizan desde la enseñanza explícita.

También que es importante empezar a nivel concreto, con materiales que los niños puedan manipular que se vinculen a áreas de interés que luego puedan aplicar, que se los exponga al conteo, a agrupaciones de cantidades y poco a poco a formarse representaciones de los números con apoyo semiconcreto (visual) o haciéndolos anotar/graficar, para luego llegar al nivel mental-verbal.

Esto es aplicable tanto para entender las agrupaciones de números como para entender operaciones, problemas y procedimientos más abstractos (fracciones, decimales).

La matemática abstracta pura basada en algoritmos y procedimientos solo puede realizarse con una mente formal, a partir de alrededor los 12 años, luego de que se haya afianzado lo anterior. Es en esa instancia donde quizás sea el alumno quien pueda ir de lo abstracto a lo concreto para de modo flexible entender para qué le sirve esa abstracción. Los alumnos con discalculia no llegan a dicha instancia.

– Sentido numérico

En un primer momento esto se da manera disgregada:

a.     Se los expone a experiencias de conteo concreto de objetos, frutas, personas, etc. Es importante que puedan manipular objetos de la vida cotidiana, que necesiten o les resulte significativo para que luego lo sigan transfiriendo en su vida diaria que está llena de situaciones de conteo (contar escalones, juguetes, compras que realizan con la mama, figuritas). Esto también se puede emular con softwares educativos que tengan propuestas táctiles o de contar y mover el material de un lado hacia el otro.

b.     En forma simultánea se va trabajando el conteo verbal de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100 pero no necesariamente comprenden las agrupaciones o lo unen al conteo concreto, la literatura mostró que luego lo integran pero necesitan disponer de dicha información para integrarla. Los niños siempre suelen tener un mayor conteo verbal del que en realidad pueden contar u operar y mucho  mayor  a los números que pueden escribir o nombrar. Ej: en sala de 5 escriben números correctamente hasta el 10 o 12, cuentan con correspondencia hasta 20 y cuentan oralmente hasta 30 o más.

c.     También es importante ir enseñándoles cómo trazar los números, explicitar las estrategias para escribir e identificar los dieces (que los de la familia del 10 empiezan con 1, los del 20 con 2), los cienes son números de 3 cifras, etc. Y darles la recta numérica o el castillo numérico, pero después intentar sacarlos para que puedan ir armando la representación mental. Algunos niños con dificultades necesitarán contar con ese apoyo más tiempo.

d.     Luego se empieza a integrar, pero de a poco, y para ello es importante no trabajar con números muy grandes y entender que existen momentos de aprendizajes “disgregado” que no por eso son “malos” sino que tienen que estar ahí, porque es importante que esté en el backend la noción hasta 1000 del sistema de numeración mínimamente en 2 grado, pero no para operar ni manipular cantidades. Es lo mismo que con la lectura, donde hay momentos de práctica de la decodificación que inicialmente “no comprenden lo que leen”. Pero es necesario contar con la “decodificación”.

– ¿Cómo se integran los tres códigos?

 Manipulando cantidades en forma concreta y asociándola con el arábico y nombrándolo. Jugando a armar y desarmar esa cantidad de distintas maneras y a verbalizar y escribir distintas maneras de armarla. Eso se puede hacer inicialmente con cantidades concretas a 10, luego ya buscar el nivel semiconcreto de representación visual de las agrupaciones a 10.

¿Por qué? Porque no es económico volver a contar cantidades grandes si ya se puede armar un grupo de 10. Para ello también es muy importante el uso de los dedos y que puedan conservar la posición de los dedos de una determinada cantidad, y una manera flexible de ponerla. Una vez que eso está, se pasa al sobreconteo.

Se puede trabajar con dados, objetos concretos o dibujados en una tarjeta y luego ya pasar a una representación arábiga como en los dados de números o mezclando dados de arábigos con dados de puntos. Luego ya al papel. Pero primero a nivel semiconcreto, luego puramente abstracto que sería la operación.

Otra cosa importante es trabajar estrategias de conteo: primero los niños hacen conteo total de la cantidad, y si no se les modela persisten en ello. Es importante modelar y exigir que hagan sobreconteo, y luego dar espacio para practicar combinaciones simples, hecho que les permitirá estimar un cálculo o entender de qué se trata un problema matemático.

En la medida en que se logran manipular cantidades pequeñas, también se aplica a problemas, donde es importantísimo explicitar que preste atención a los datos numéricos, que anote la cantidad con un arábigo, ya sea con un número manipulable o escribiéndolo; que piense qué es lo que pasó, si habrá más, si habrá menos. Y modelarle, darle andamiaje acerca de cómo sumar y restar.

Luego de que integra el triple código hasta 2 cifras, ya puede empezar la enseñanza de la descomposición y reagrupación de cantidades para la suma. Luego será con 3 cifras y 4. Es muy importante trabajar la operatoria de modo horizontal, por descomposición primero concreta, luego semiconcreta y luego que el alumno pueda hacerlo de manera puramente mental.

Reforzar la operatoria disgregada de los problemas es importantísimo porque el alumno pone toda la energía en ello hasta automatizarlo.

Si un alumno está trabajando la operatoria por descomposición de 3 cifras, los problemas debieran ser de dos cifras, así tiene recursos extensos para poder entender el contexto del problema, graficarlo, y darle solución o pensar distintas maneras de resolverlo.

Esto fortalece las bases.

Y algo no menor: la literatura también muestra que es importante practicar la rapidez con la que se hacen cálculos mentales de un dígito o de dos y un dígito, o luego aplicarlos a regularidades terminadas en cero. Dedicar un tiempo a ello les permite contar con un recurso eficiente que es predictor de la resolución de problemas.

– ¿Cómo trabaja un docente que enseña de manera eficaz?

El docente debe saber qué es lo que quiere enseñar, debe modelar, dar andamiaje, practicar con los alumnos y luego darles oportunidades para que lo apliquen y sean ellos que digan cómo lo resolvieron. Ello les da seguridad y genera afianzamiento de las estrategias que luego podrán utilizar solos.

La matemática no se construye, sino que se comprende. El niño/alumno va desarrollando nociones de la mano del docente que va graduando la enseñanza brindando apoyos primero concretos, luego semiconcretos y luego lo encamina para la aplicación mental.

El alumno va “comprendiendo” no va construyendo, porque el número existe independientemente de los alumnos, el sistema de numeración existe independientemente de los alumnos y los algoritmos también. Luego sí, en la madurez de la abstracción, puede “descubrir” distintos caminos para llegar a lo mismo, tomar conciencia de ello, y en algunos casos hacer un descubrimiento genial sobre alguna ley de la naturaleza que se pueda expresar matemáticamente. Pero los alumnos que aprenden matemática no descubren nada nuevo sino que aprenden a comprenderlo y tienen el goce de dominarlo, quizás de maneras distintas y tomando conciencia de cómo llegaron a ello. Es en la aplicación del sistema de numeración y de la operatoria básica a la resolución de problemas donde se ponen en juego destrezas ejecutivas, creatividad y variabilidad en la flexibilidad para resolver, donde vemos la individualidad. Es importante que los docentes promuevan la metacognición, que los alumnos puedan verbalizar cómo lo resolvieron, comparar entre ellos, en parejas, en pequeños grupos, aplicar recursos aprendidos o propios y desafiarse a encontrar nuevos. 

Rufina Pearson

• Doctora y Licenciada en Psicopedagogía (UCA).
Master en Educación Especial por la Universidad de British Columbia, Canada.
• Investigadora Principal en la UCA CIPP en la línea Procesos de Aprendizaje Escolar. Temas: conciencia fonológica, lectura, matemática, bilingüismo. Dislexia y Discalculia.
• Profesora de Posgrado en la Universidad Austral. Profesora de Grado UCA en Evaluación Psicopedagógica, Fundamentos de Evaluación Psicopedagógica y Clínica de Niños.
• Profesora en diversos cursos de Postgrado en la UCA y otras instituciones.
• Disertante en Congresos Nacionales e Internacionales. Especialista en Problemas de Aprendizaje. Diagnóstico y Tratamiento.
• Capacitadora de docentes y profesionales.
• Directora del equipo JEL Aprendizaje.
• Autora de los libros: ¨Dislexia, una forma diferente de leer¨ y “Una forma diferente de Aprender-Tratamiento Psicopedagógico” de editorial Paidós. 

Sobre Matific

Plataforma multipremiada, Matific es una personalizada y adaptable ruta de aprendizaje:
Actividades matemáticas para estudiantes de 4 a 15 años con una pedagogía consolidada y diseñada por especialistas en educación.
La plataforma propone actividades gamificadas, contenidos interactivos, atractivos y personalizados, donde los alumnos desarrollan pensamiento crítico, la agilidad para la resolución de problemas bajo 5 principios pedagógicos:
– Comprensión conceptual
– Desarrollo del pensamiento crítico
– Contexto significativo
– Aprendizaje personalizado
– Compromiso intrínseco
La evidencia demuestra una eficacia comprobada en el rendimiento de los estudiantes
• Mejora los resultados 
• Impulsa la participación 
• Aumenta el interés : los estudiantes “quieren aprender matemáticas con Matific”.

Las Matemáticas en la Región:

Los peores resultados en las pruebas PISA estandarizadas de matemáticas en América Latina se concentran en países como
Paraguay: (puesto 81 de 82 países), Colombia, Argentina (el 70% de sus estudiantes no logró interpretar ni reconocer cómo se representa matemáticamente una situación simple), México y Perú (que han retrocedido notablemente), según los resultados de PISA 2022.
Los mejores desempeños en la región son Chile y Uruguay, pero a pesar de estar entre los mejores de la región, se encuentran por debajo del promedio de la OCDE.